提要：无理数可以用连分数表示，但书写形式很繁复，本文在传统求法的基础上，给出一种程序化求法、书写的简化形式和用渐近分数表达无理数。
拉马努金恒等式实际揭示了，有理数可以用无理数表示，反过来，无理数可以用有理数来表示吗？历史上，有很多数学家，象欧拉，高斯等人对此有过深入研究，都给出肯定的回答，无理数可以用连分数来表示。
01–√5的连分数表示
以√5为例，√5的整部(整数部分)是2，分部(小数部分)是√5-2，
√5=整部+分部
=2+(√5-2)
整部=2，分部=√5-2
其分部√5-2的倒数：
1/(√5-2)=√5+2
=整部+分部
=4+(√5-2)
整部=4，分部=√5-2
此时√5+2的分部=√5的分部，第一次出现循环，整部、分部分离过程结束。
这个过程在《几何画板》中，用去尾函数trunc(x)来分离无理数的整部和分部很方便，下图就是这个分离过程的截图。
把上述过程形式化得
即√5可以用下图中的连分数来表示：
√5用连分式来表示形式漂亮，但也有缺憾，占用篇幅大，书写较繁琐，因而常用中括号简记为√5=[2,4,4,4…]=[2,4]，其中4表示以4为循环节。
02–√7的连分数表示
再以√7为例，√7的整部(整数部分)是2，分部(小数部分)是√7-2，
√7=整部+分部
=2+(√7-2)
整部=2，分部=√7-2
分部(√7-2)的倒数：
1/(√7-2)=(√7+2)/3
=整部+分部
=1+(√7-1)/3
整部=1，分部=(√7-1)/3
其分部(√7-1)/3的倒数：
3/(√7-1)=(√7+1)/2
=整部+分部
=1+(√7-1)/2
整部=1，分部=(√7-1)/2
其分部(√7-1)/2的倒数：
2/(√7-1)=(√7+1)/3
=整部+分部
=1+(√7-2)/3
整部=1，分部=(√7-2)/3
分部=(√7-2)/3的倒数：
3/(√7-2)=√7+2=4+√7-2
=整部+分部
=4+(√7-2)
此时3/(√7-2)的分部=√7的分部，第一次出现循环，整部、分部分离过程结束。
把上述过程形式化得
即√7可以用下图中的连分数来表示：
简记为√7=[2,1,1,1,4,1,1,1,4…]=[2,1,1,1,4]，其中1,1,1,4表示以1,1,1,4为循环节。
03–无理数√n化连分数的步骤
以√n为例
将√n分离为整部z1和分部f1
求分部f1的倒数d1
将d1分离为整部z2和分部f2
求分部f2的倒数d2
将d2分离为整部z3和分部f3
重复上述过程，直到分部fn第一次和前面某分部fk相同（fn=fk）为止，结束过程分离。
√n=[z1，z2，。。。zi，。。。，zn]
按上述操作，将√13化为连分数
分离√13=3+(√13-3)，得z1=3,f1=√13-3；
d1=1/(√13-3)=(√13+3)/4;
分离d1,得z2=1,f2=(√13-1)/4；
d2=4/(√13-1)=(√13+1)/3;
分离d2,得z3=1,f3=(√13-2)/3；
d3=3/(√13-2)=(√13+2)/3;
分离d3，得z4=1，f4=(√13-1)/3；
d4=3/(√13-1)=(√13+1)/4;
分离d4，得z5=1，f5=(√13-3)/4；
d5=4/(√13-3)=√13+3=6+(√13-3);
分离d5，得z6=6，f6=√13-3
分部第一次出现重复f1=f6，分离过程结束。
√13=[3,1,1,1,1,6]
用《几何画板》验证：
即
按上述操作，将√101化为连分数
分离√101=10+(√101-10)，得实部10,分部(√101-10)；
分部的倒数1/(√101-10)=√101+10;
分离√101+10,得实部20,分部√101-10；
分部第一次出现重复，分离过程结束。
√101=[10,20]
即
04–无理数的渐近分数
渐进分数表示了向无理数逐渐逼近无理数的趋势，所以渐近分数可以用来表示无理数的近似值。
如√3=[1,1,2]的前五个渐近分数：
A1=[1]=1,
A2=[1,1]=2,
A3=[1,1,2]=1+2/3≈1.667,
A4=[1,1,2,1]=1+3/4≈1.75,
A5=[1,1,2,1,2]=1+8/11≈1.73。
再如√101=[10,20]的前三个渐近分数：
A1=[10]=10,
A2=[10,20]=10+1/20=10.05,
A3=[10,20,20]=10+20/401≈10.04988。
1761年，德国数学家兰伯特证明了圆周率pi是无理数，因而pi也可以用连分数来表示（计算过程太复杂，略）
pi=[3,7,15,1,292,1,1…]
pi的前四个渐近分数：
A1=3,
A2=22/7,
A3=333/106,
A4=355/113。
其中，A2,A3恰好分别是祖冲之计算出的“约率”和“密律”。
05–结语
拉马努金恒等式，揭示了用无理数表示有理数，用连分数表示无理数，说明无理数也可以用有理数来表示。因而有理数和无理数的种关系是辩证的统一，是符合辩证法的。
用连分数表示无理数的主要步骤：分离，求倒数。
无理数的渐近分数可以用来表示无理数的近似值，这也算用连分数表示无理数的用途之一吧。