根号5的连分数表示,根号7的连分数表示

根号5的连分数表示,根号7的连分数表示

提要:无理数可以用连分数表示,但书写形式很繁复,本文在传统求法的基础上,给出一种程序化求法、书写的简化形式和用渐近分数表达无理数

拉马努金恒等式实际揭示了,有理数可以用无理数表示,反过来,无理数可以用有理数来表示吗?历史上,有很多数学家,象欧拉,高斯等人对此有过深入研究,都给出肯定的回答,无理数可以用连分数来表示。

01–√5的连分数表示

以√5为例,√5的整部(整数部分)是2,分部(小数部分)是√5-2,

√5=整部+分部

=2+(√5-2)

整部=2,分部=√5-2

其分部√5-2的倒数:

1/(√5-2)=√5+2

=整部+分部

=4+(√5-2)

整部=4,分部=√5-2

此时√5+2的分部=√5的分部,第一次出现循环,整部、分部分离过程结束。

这个过程在《几何画板》中,用去尾函数trunc(x)来分离无理数的整部和分部很方便,下图就是这个分离过程的截图。

根号5的连分数表示,根号7的连分数表示

把上述过程形式化得

根号5的连分数表示,根号7的连分数表示

即√5可以用下图中的连分数来表示:

根号5的连分数表示,根号7的连分数表示

√5用连分式来表示形式漂亮,但也有缺憾,占用篇幅大,书写较繁琐,因而常用中括号简记为√5=[2,4,4,4…]=[2,4],其中4表示以4为循环节。

02–√7的连分数表示

再以√7为例,√7的整部(整数部分)是2,分部(小数部分)是√7-2,

√7=整部+分部

=2+(√7-2)

整部=2,分部=√7-2

分部(√7-2)的倒数:

1/(√7-2)=(√7+2)/3

=整部+分部

=1+(√7-1)/3

整部=1,分部=(√7-1)/3

其分部(√7-1)/3的倒数:

3/(√7-1)=(√7+1)/2

=整部+分部

=1+(√7-1)/2

整部=1,分部=(√7-1)/2

其分部(√7-1)/2的倒数:

2/(√7-1)=(√7+1)/3

=整部+分部

=1+(√7-2)/3

整部=1,分部=(√7-2)/3

分部=(√7-2)/3的倒数:

3/(√7-2)=√7+2=4+√7-2

=整部+分部

=4+(√7-2)

此时3/(√7-2)的分部=√7的分部,第一次出现循环,整部、分部分离过程结束。

根号5的连分数表示,根号7的连分数表示

根号5的连分数表示,根号7的连分数表示

根号5的连分数表示,根号7的连分数表示

把上述过程形式化得

根号5的连分数表示,根号7的连分数表示

即√7可以用下图中的连分数来表示:

根号5的连分数表示,根号7的连分数表示

简记为√7=[2,1,1,1,4,1,1,1,4…]=[2,1,1,1,4],其中1,1,1,4表示以1,1,1,4为循环节。

03–无理数√n化连分数的步骤

以√n为例

将√n分离为整部z1和分部f1

求分部f1的倒数d1

将d1分离为整部z2和分部f2

求分部f2的倒数d2

将d2分离为整部z3和分部f3

重复上述过程,直到分部fn第一次和前面某分部fk相同(fn=fk)为止,结束过程分离。

√n=[z1,z2,。。。zi,。。。,zn]

按上述操作,将√13化为连分数

分离√13=3+(√13-3),得z1=3,f1=√13-3

d1=1/(√13-3)=(√13+3)/4;

分离d1,得z2=1,f2=(√13-1)/4;

d2=4/(√13-1)=(√13+1)/3;

分离d2,得z3=1,f3=(√13-2)/3;

d3=3/(√13-2)=(√13+2)/3;

分离d3,得z4=1,f4=(√13-1)/3;

d4=3/(√13-1)=(√13+1)/4;

分离d4,得z5=1,f5=(√13-3)/4;

d5=4/(√13-3)=√13+3=6+(√13-3);

分离d5,得z6=6,f6=√13-3

分部第一次出现重复f1=f6,分离过程结束。

√13=[3,1,1,1,1,6]

用《几何画板》验证:

根号5的连分数表示,根号7的连分数表示

根号5的连分数表示,根号7的连分数表示

按上述操作,将√101化为连分数

分离√101=10+(√101-10),得实部10,分部(√101-10)

分部的倒数1/(√101-10)=√101+10;

分离√101+10,得实部20,分部√101-10

分部第一次出现重复,分离过程结束。

√101=[10,20]

根号5的连分数表示,根号7的连分数表示

根号5的连分数表示,根号7的连分数表示

04–无理数的渐近分数

渐进分数表示了向无理数逐渐逼近无理数的趋势,所以渐近分数可以用来表示无理数的近似值。

如√3=[1,1,2]的前五个渐近分数:

A1=[1]=1,

A2=[1,1]=2,

A3=[1,1,2]=1+2/3≈1.667,

A4=[1,1,2,1]=1+3/4≈1.75,

A5=[1,1,2,1,2]=1+8/11≈1.73。

再如√101=[10,20]的前三个渐近分数:

A1=[10]=10,

A2=[10,20]=10+1/20=10.05,

A3=[10,20,20]=10+20/401≈10.04988。

1761年,德国数学家兰伯特证明了圆周率pi是无理数,因而pi也可以用连分数来表示(计算过程太复杂,略)

pi=[3,7,15,1,292,1,1…]

pi的前四个渐近分数:

A1=3,

A2=22/7,

A3=333/106,

A4=355/113。

其中,A2,A3恰好分别是祖冲之计算出的“约率”和“密律”。

05–结语

拉马努金恒等式,揭示了用无理数表示有理数,用连分数表示无理数,说明无理数也可以用有理数来表示。因而有理数和无理数的种关系是辩证的统一,是符合辩证法的。

用连分数表示无理数的主要步骤:分离,求倒数。

无理数的渐近分数可以用来表示无理数的近似值,这也算用连分数表示无理数的用途之一吧。

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