最近，我在图书馆看到一本国外的科普书《天啊，几何还能这样学》，里面就聊到如何快速手算任意角度的正弦值，以及如何根据正弦值求解角度。里面介绍的方法很新颖，也很有效果，如下图所示：
这种方法的原理是，当角度很小时，该角度所对的圆弧与半径的比值与正弦值非常接近，误差很小。这时，计算正弦值就转换为计算圆弧与半径的比值。
如下图所示，点A为圆心，AB、AD为圆的半径，BD是角A所对应的圆弧，BC垂直AD于C。当角A很小时，圆弧BD与线段BC的长度就非常接近。
从中，我们可以看出来，当角度很小时，正弦值与角度接近成正比，利用这个特征，我们就能够根据角度求解正弦值，以及根据正弦值求解角度。
一、求sin1°~sin15°以及正弦值为0~0.259时对应的角度。
（查正弦表可知，sin1°=0.01745……，这时两者小数点5位以内数值都是一致的）
（查正弦表可知，sin2°=0.03489……，这时两者小数点3位以内数值都是一致的）
（查正弦表可知，sin10°=0.17364……，这时两者小数点2位以内数值都是一致的）
（查正弦表可知，sin15°=0.25881……，这时两者小数点1位以内数值都是一致的，这时误差为（0.26180-0.25881）/0.25881=1.15%，这个误差还是相对比较小的，属于可接受范围。）
二、求sin15°~sin30°以及正弦值为0.259~0.5时对应的角度。
（我们知道sin30°=0.5，这时依据上述方法算出来的误差为（0.52360-0.5）/0.5=4.72%，这个误差已经很大了，是无法接受的。）
2、这时为了降低误差，我们需要利用勾股定理求出15度角的正弦值（sin15°）。
已知AB=AD，AC垂直于BD，角BAC=角DAC=15°，角BAE=30°，BE垂直于AD，于是BC=CD。
又sin30°=0.5，所以（sin30°-sin15°）/15=0.01608=0.016（取3位小数）
15°~30°，我们认为角度在增加，正弦值也随之成比例增加，即角度每增加1°，正弦值随之增加0.016。
3、于是：
sin15°=0.259
sin16°=0.259+0.016=0.275
……
sin20°=0.259+0.016*5=0.339
（查正弦表可知，sin20°=0.342……，误差很小）
……
sin25°=0.259+0.016*10=0.419
（查正弦表可知，sin25°=0.422……，误差很小）
……
同样地，当正弦值已知，且处在0.259（sin15°）~0.5（sin30°）时，利用前面的结论“15°~30°，我们认为角度在增加，正弦值也随之成比例增加，即角度每增加1°，正弦值随之增加0.016”，我们可以根据正弦值快速求出相对应的角度：
4、当正弦值为0.3时，这时我们要求的角度A=15+（0.3-0.259）/0.016=17.6°。
5、当正弦值为0.4时，这时我们要求的角度A=15+（0.4-0.259）/0.016=23.8°。
6、当正弦值为0.45时，这时我们要求的角度A=15+（0.45-0.259）/0.016=26.9°。
……
三、求sin30°~sin45°以及正弦值为0.5~0.707时对应的角度。
2、（sin45°-sin30°）/15=0.01608=0.0138=0.014。（取3位小数）
3、30°~45°，我们认为角度在增加，正弦值也随之成比例增加，即角度每增加1°，正弦值随之增加0.014。
4、于是：
sin30°=0.5
sin31°=0.5+0.014=0.514
……
sin35°=0.5+0.014*5=0.570
（查正弦表可知，sin35°=0.5735……，误差很小）
……
sin40°=0.5+0.014*10=0.640
（查正弦表可知，sin40°=0.6427……，误差很小）
……
sin44°=0.5+0.014*14=0.696
（查正弦表可知，sin44°=0.69465……，误差很小）
同样地，当正弦值已知，且处在0.5（sin30°）~0.707（sin45°）时，利用前面的结论“30°~45°，我们认为角度在增加，正弦值也随之成比例增加，即角度每增加1°，正弦值随之增加0.014”，我们可以根据正弦值快速求出相对应的角度：
5、当正弦值为0.6时，这时我们要求的角度A=30+（0.6-0.5）/0.014=37.1°。
6、当正弦值为0.7时，这时我们要求的角度A=30+（0.7-0.5）/0.014=44.3°。
……
四、求sin45°~sin90°以及正弦值为0.707~1时对应的角度。
1、如下图，在直角三角形ABC中，角C是直角，角A+角B=90°。
（查正弦表可知，sin46°=0.71933……，误差很小）
……
（查正弦表可知，sin50°=0.76604……，误差很小）
……
（查正弦表可知，sin65°=0.90630……，误差很小）
……
（查正弦表可知，sin75°=0.96592……，误差很小）
……
（查正弦表可知，sin80°=0.98480……，误差很小）
……
6、下面我们根据正弦值求解角度：
这时，我们就能根据正弦值，快速求解出角度了：
……