证明：tan1°是无理数
我们都知道角α的正切值tanα，代表直角三角形中角α的对边与邻边的比值。
tanα=a/b
利用直角三角形三边之间的关系，很容易求得一些特殊角的正切值。
tan0°=0，tan30°=√3/3
tan45°=1，tan60°=√3
tan90°不存在
现在的问题是，1°是一个非特殊角，要想准确地求出tan1°的值，在考场上，几乎是不可能的。
还好这道题并不是求tan1°的值，而只是证明tan1°是无理数。
我们知道如果一个实数不是有理数，那就一定是无理数。由此我们想到了利用反证法来证明这个问题，将证明tan1°是无理数转化为证明tan1°不是有理数。
首先给出引理：任何两个有理数四则运算的结果都仍然是有理数。
这个结果看上去很显然，但还是需要严格证明一下才更具有说服力。
证明：设a和b都是有理数
令a=m/n，b=p/q
m、n、p、q均为整数，且不为0
①a+b=m/n+p/q=(mq+np)/nq
②a-b=m/n+p/q=(mq-np)/nq
③a×b=(m/n)×(p/q)=mp/nq
④a÷b=(m/n)÷(p/q)=mq/np
显然mp、mq、np、nq
仍然为整数，且不为0
所以a+b、a-b、a×b、a÷b
仍然是有理数，证毕！
这个引理称为有理数的封闭性。
我们再来回顾正切的两角和公式。
tan(α+β)
=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)
接下来我们来证明这道高考题。
求证：tan1°是无理数
证明：假设tan1°是有理数
由正切两角和公式：
tan2°=tan(1°+1°)
=(tan1°+tan1°)/(1-tan1°tan1°)
由有理数的封闭性可得：
tan2°是有理数
再由正切两角和公式：
tan3°=tan(1°+2°)
=(tan1°+tan2°)/(1-tan1°tan2°)
再由有理数的封闭性可得：
tan3°是有理数
一直这样推导下去可得：
tan4°、tan5°、…、tan30°、…
均为有理数
我们知道tan30°=√3/3是无理数
与tan30°是有理数矛盾
所以假设tan1°是有理数错误
所以tan1°是无理数，证毕！
这个证明思路可以说无比丝滑，简直太令人赏心悦目了。现在，你学会这种巧妙的思维方式了吗？
